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domingo, 27 de novembro de 2022

Colegiais de Kirkman: o problema que fascina matemáticos há 172 anos

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Em 1850, um reverendo inglês publicou um problema que se tornou um dos clássicos da matemática recreativa. 'Parece um quebra-cabeças, um enigma, mas por trás há aspectos muito profundos', diz estudioso.
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TOPO
Por BBC

Postado em 27 de novembro de 2022 às 18h30m

 #.*Post. - N.\ 10.570*.#

Enigma chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos — Foto: Getty Images/BBC
Enigma chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos — Foto: Getty Images/BBC

Imagine que seu tão esperado aumento de salário depende de você fazer apenas uma coisa.

Sua chefe está organizando um congresso e confirmou a presença de sete grandes especialistas que vão debater entre si em mesas redondas. E ela pede a você que cada mesa tenha apenas três debatedores.

Até aqui, tudo bem, certo? Já está visualizando sua conta bancária?

Mas, durante a conversa com os debatedores, você descobre um detalhe: eles são os melhores nas suas áreas, mas não se dão bem entre si — e cada um, à sua maneira, impõe uma condição:

"Posso participar das mesas como for necessário, mas quero estar presente com cada um dos outros seis convidados apenas uma vez, nem mais, nem menos."

Parece difícil, mas não se desespere.

O que a sua chefe está pedindo é muito semelhante à questão formulada pelo matemático britânico Thomas Kirkman em 1850 — conhecida como problema das colegiais.

Com a ajuda do professor de matemática Raúl Ibáñez, da Universidade do País Basco, na Espanha, vamos te contar do que se trata.

"O problema das colegiais fascina as pessoas há muito tempo. Parece um quebra-cabeça, um enigma, mas tem aspectos muito profundos por trás dele", afirma Ibáñez, que é divulgador científico e autor de diversos livros e artigos sobre matemática. Um de seus livros dedica um capítulo a esse problema.

"Parece fácil, mas é intrinsecamente muito complicado, e sua resolução nem sempre é simples", afirma o professor.

Teoria de grupos

Kirkman nasceu em Manchester, na Inglaterra, em 1806.

Um professor observou na escola que ele tinha potencial para ser aceito na Universidade de Cambridge, mas seu pai tinha outros planos.

Thomas Kirkman estudou no histórico Trinity College, em Dublin, na Irlanda — Foto: Universal Images Group via Getty Images/BBC
Thomas Kirkman estudou no histórico Trinity College, em Dublin, na Irlanda — Foto: Universal Images Group via Getty Images/BBC

"Thomas foi obrigado a abandonar a escola aos 14 anos e ir trabalhar no escritório do pai", conforme contam, em uma breve biografia, os professores John Joseph O'Connor e Edmund Frederick Robertson, da Universidade de St. Andrews, no Reino Unido.

"Depois de nove anos trabalhando no escritório, Thomas contrariou os desejos do pai e entrou para o Trinity College de Dublin, na Irlanda, para estudar matemática, filosofia, os clássicos e ciências, a fim de obter uma licenciatura", dizem os professores.

Em 1835, Kirkman voltou para a Inglaterra e, quatro anos depois, se tornou vigário de uma paróquia da Igreja Anglicana, ocupando o cargo por 52 anos. Casou-se e teve três filhos.

Como indicou Robin Wilson, professor emérito de matemática pura da Open University, no Reino Unido, no artigo The Early History of Block Designs ("A história inicial dos desenhos de blocos", em tradução livre), os deveres paroquiais de Kirkman "ocupavam pouco do seu tempo".

Por isso, o reverendo "concentrava muitos esforços nas suas pesquisas matemáticas, especialmente em temas de álgebra e análise combinatória".

Os sistemas triplos

Em 1846, Kirkman apresentou seu primeiro artigo, com o título On a Problem in Combinations ("Sobre um problema de combinações", em tradução livre). Ele foi publicado em 1847, na revista Cambridge and Dublin Mathematical Journal.

O artigo é considerado pioneiro do sistema triplo de Steiner, vários anos antes da sua apresentação pelo geômetra suíço Jakob Steiner (1796-1863), considerado um dos mais importantes do século 19.

O matemático suíço Jakob Steiner nasceu em 1796 e morreu em 1863 — Foto: Universal Images Group via Getty Images/BBC
O matemático suíço Jakob Steiner nasceu em 1796 e morreu em 1863 — Foto: Universal Images Group via Getty Images/BBC

"Talvez esses sistemas triplos devessem ter sido chamados sistemas de Kirkman, já que ele foi o primeiro a publicá-los", afirma Ibáñez.

Ao longo da sua carreira, Kirkman aprofundou-se na teoria de grupos e deixou importantes contribuições para a análise combinatória.

Matemática recreativa

Kirkman publicou o problema das colegiais na revista The Lady's and Gentleman's Diary, dedicada a questões matemáticas, enigmas e poesia.

O matemático inglês Arthur Cayley é considerado líder da escola britânica de matemática pura que surgiu no século 19 — Foto: SSPL via Getty Images/BBC
O matemático inglês Arthur Cayley é considerado líder da escola britânica de matemática pura que surgiu no século 19 — Foto: SSPL via Getty Images/BBC

Era um quebra-cabeça, uma recreação matemática, apresentada desta forma:

"Quinze jovens estudantes saem para passear todos os dias da semana, de segunda a domingo, de forma ordenada, formando cinco filas de três colegiais cada uma. Como devemos organizá-las todos os dias da semana para que nenhuma dupla de colegiais compartilhe a mesma fila por mais de um dia?"

Esta abordagem chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos, entre eles o britânico Arthur Cayley (1821-1895), que publicou rapidamente uma solução. Kirkman apresentaria outra e, a partir de então, surgiriam diversas resoluções.

Kirkman idealizou o problema das colegiais exatamente enquanto escrevia seu artigo sobre os sistemas triplos.

"Temos n elementos, 1, 2, 3 até n, e a ideia é criar coleções de três números deste conjunto, chamadas de blocos, de forma que cada par de elementos apareça exatamente em um trio", explica Ibáñez.

O que Kirkman pede no seu problema é que, para 15 pessoas ou elementos, possamos desenvolver um sistema triplo separado em sete grupos (um para cada dia da semana), de forma que, em cada um deles, estejam todos os elementos — no caso, as colegiais.

Os quadrados de Room

Cayley é considerado um dos fundadores da escola britânica de matemática pura, que surgiu no século 19.

Em 1850, ele decidiu prestar atenção ao problema das 15 colegiais e chegou a uma solução por meio do que hoje é conhecido como quadrados de Room — que viriam a ser documentados pelo matemático australiano Thomas Gerald Room (1902-1986).

O professor explica que, em um quadrado de Room, temos n+1 símbolos.

Imagine 8 números, de 1 a 8.

Como escolhemos oito símbolos, fazemos uma tabela de 7x7: sete linhas e sete colunas.

Mas é preciso atender a três condições:

  • Cada quadrado está vazio ou tem um par de números. Por exemplo, um quadrado pode ter 35, outro pode ter 86, outro pode ter o 13 ou não ter nada.
  • Cada símbolo aparece uma única vez em cada linha e em cada coluna. Se pegarmos uma linha, por exemplo, o 1 aparecerá em um dos quadrados, o 2 em outro e assim até o 8. Nas colunas, ocorre a mesma coisa, mas aparecerão formando um par de números.
  • Cada par não ordenado de símbolos aparece uma única vez. O par 12, por exemplo, aparece uma única vez em toda a tabela, o 13 aparece uma única vez, e assim até o final, até o par 78.

Um exemplo seria este:

Ilustração dos quadrados de Room — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC
Ilustração dos quadrados de Room — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC

O que Cayley fez foi usar esse tipo de quadrado de Room e combiná-lo com os sistemas triplos, que Kirkman já estava estudando, para chegar a uma solução para o problema das colegiais.

Cayley distribuiu as 15 estudantes da seguinte forma: ele indicou as sete primeiras com letras de "a" até "g", e as outras oito com números, de 1 a 8.

Os números servem para formar um quadrado de Room, conforme ilustrado acima, e as letras para fazer sistemas triplos de ordem sete, como este:

Os números servem para formar um quadrado de Room, conforme ilustrado acima, e as letras para fazer sistemas triplos de ordem sete — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC
Os números servem para formar um quadrado de Room, conforme ilustrado acima, e as letras para fazer sistemas triplos de ordem sete — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC

Esses trios são colocados à esquerda do quadrado de Room, desta forma:

Versão final dos quadrados de Room, com números e letras — Foto:  RAÚL IBÁÑEZ/BBC
Versão final dos quadrados de Room, com números e letras — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC

A solução

A partir dessa estrutura, surge uma solução.

Vamos transpor o quadro para as 15 colegiais e os sete dias em que elas saem para passear.

Mas antes, vamos dar nomes às letras e aos números da tabela de Cayley:

  • a=Ana
  • b=Bia
  • c=Carol
  • d=Diana
  • e=Emma
  • f=Fany
  • g=Gina
  • 1=Maria
  • 2=Katy
  • 3=Yeny
  • 4=Lola
  • 5=Sofia
  • 6=Gabi
  • 7=Pili
  • 8=Yoli

A solução vem do quadrado de letras e números mais acima. Cada linha desse quadrado nos fornece os grupos de três estudantes de cada um dos sete dias da semana.

Ou seja, na segunda-feira é abc, d35, e17, f82 e g64. A solução, com nossas estudantes, seria esta:

Gráfico com a solução — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC
Gráfico com a solução — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC

A arte da análise combinatória

Tanto Kirkman quanto Cayley "sabiam que havia algo profundo por trás desse problema e, por isso, dedicaram-se a ele".

Enigma chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos — Foto: Getty Images via BBC
Enigma chamou a atenção de diversos matemáticos reconhecidos — Foto: Getty Images via BBC

"A análise combinatória é a arte de selecionar ou ordenar os elementos de um certo conjunto" — e isso é precisamente o que Cayley nos mostra com sua solução. O problema das colegiais é de organização.

"As estudantes e como agrupá-las para ir ao colégio em cada dia são uma metáfora de estrutura matemática, na verdade, combinatória, que pode ser usada em muitos outros aspectos da nossa vida", afirma Ibáñez.

"Este é o motivo pelo qual a matemática é abstrata — para que ela seja uma ferramenta que possa ser utilizada em contextos muito diferentes, como a física, biologia, química ou medicina."

Segundo ele, a matemática que intervém no problema das colegiais é parte de todo um ramo que é fundamental na teoria de códigos e criptografia, planejamento, geometria, projetos de experimentos estatísticos, teoria da computação e redes de comunicação.

"Tudo o que surge da tentativa de solucionar um quebra-cabeça acabou se convertendo em duas teorias matemáticas: os sistemas triplos de Steiner e a teoria de desenho de blocos, ambas com muitas aplicações práticas", afirma Ibáñez.

Isso acontece porque a matemática "não se contenta" com solucionar o problema.

"Em alguns casos, como este, ela também observa quantas formas distintas de solução existem. E, para o problema das colegiais de Kirkman, demonstrou-se, no início do século 20, que havia 80 soluções distintas."

O problema que gera mais problemas

As colegiais também fizeram surgir novos problemas.

"Outra prática habitual na ciência de Pitágoras é expor o problema de forma mais geral", diz Ibáñez.

Martin Gardner, considerado um mestre da matemática recreativa, popularizou o problema dos 9 prisioneiros, idealizado por Henry Ernest Dudeney com base nas colegiais de Kirkman — Foto: Getty Images/BBC
Martin Gardner, considerado um mestre da matemática recreativa, popularizou o problema dos 9 prisioneiros, idealizado por Henry Ernest Dudeney com base nas colegiais de Kirkman — Foto: Getty Images/BBC

"Por isso, o problema das colegiais foi proposto para grupos com outras quantidades de estudantes."

A solução para todos os casos só chegou em 1968, quando os matemáticos Ray-Chaudhuri e R. M. Wilson publicaram a "solução completa para o caso geral".

Ainda assim, o problema continua em aberto, pois os sistemas triplos de Steiner ou, de forma mais geral, o desenho de blocos são um ramo "muito ativo" da matemática.

"Um quebra-cabeça como este, que, em princípio, era uma questão pequena, tornou-se uma teoria com centenas de problemas abertos, pesquisas, artigos e livros", afirma Ibáñez.

E, enquanto tentavam resolvê-lo, muitos matemáticos usaram e desenvolveram técnicas diferentes.

O matemático americano Martin Gardner, por exemplo, publicou na revista Scientific American uma solução geométrica para o problema das colegiais: um círculo, com números e triângulos sobre ele, que oferece uma resposta diferente à medida que é girado.

Voltando à questão que poderia te dar o desejado aumento de salário, a resposta é designar um número para cada um dos convidados e criar um sistema triplo, que levará, por exemplo, a sete mesas:

Gráfico com solução matemática  — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC
Gráfico com solução matemática — Foto: RAÚL IBÁÑEZ/BBC

E, se você quiser agradecer a alguém pelo merecido aumento de salário, sem dúvida os agradecimentos vão para Thomas Kirkman e, claro, para o professor Ibáñez.

Gráficos: Manuella Bonomi e Ana Lucía González

Este texto foi publicado originalmente em https://www.bbc.com/portuguese/geral-63711028

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Como erupção de vulcão em Tonga 'esculpiu' leito marinho

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Um levantamento realizado por embarcações da Nova Zelândia e do Reino Unido mapeou completamente a área ao redor deste vulcão no Oceano Pacífico — e mostrou que o fundo do mar foi varrido e esculpido por violentos fluxos de detritos a uma distância de mais de 80 km.
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TOPO
Por BBC

Postado em 27 de novembro de 2022 às 07h00m

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Erupção que ocorreu no vulcão submarino Hunga Tonga-Hunga Ha'apai, em Tonga, no dia 14 de janeiro de 2022 nesta reprodução de um vídeo que circula nas redes sociais — Foto: SERVIÇO GEOLÓGICO DE TONGA/REUTERS
Erupção que ocorreu no vulcão submarino Hunga Tonga-Hunga Ha'apai, em Tonga, no dia 14 de janeiro de 2022 nesta reprodução de um vídeo que circula nas redes sociais — Foto: SERVIÇO GEOLÓGICO DE TONGA/REUTERS

Cientistas dizem que estão surpresos com o que descobriram sobre a intensidade da erupção vulcânica de Tonga em janeiro deste ano.

Quando esta montanha submersa entrou em erupção, enviou cinzas e vapor d'água em direção ao espaço e gerou ondas de tsunami em todo o mundo.

Agora, um levantamento realizado por embarcações da Nova Zelândia e do Reino Unido mapeou completamente a área ao redor deste vulcão no Oceano Pacífico — e mostrou que o fundo do mar foi varrido e esculpido por violentos fluxos de detritos a uma distância de mais de 80 km.

O exercício de mapeamento do monte submarino Hunga-Tonga Hunga-Haʻapai foi conduzido pelo Instituto Nacional de Pesquisa da Água e Atmosfera da Nova Zelândia (Niwa, na sigla em inglês).

Os dados coletados indicam que pelo menos 9,5 quilômetros cúbicos, talvez até 10 quilômetros cúbicos, de material foram deslocados durante o evento cataclísmico. Este volume é equivalente a aproximadamente 4 mil pirâmides egípcias.

Dois terços se referem a cinzas e rochas ejetadas pela caldeira (ou abertura) do vulcão.

"Você pode pensar nisso como 'um tiro de espingarda' direto para o céu", disse o geólogo marinho e diretor do projeto Niwa, Kevin Mackay, à BBC News.

Imagens mostraram inundações quando as ondas do tsunami começaram — Foto: DIVULGAÇÃO
Imagens mostraram inundações quando as ondas do tsunami começaram — Foto: DIVULGAÇÃO

"Parte desse material foi além da estratosfera, para a mesosfera (57 km de altitude) — a coluna de erupção mais alta registrada na história da humanidade.", acrescentou.

O terço restante era material raspado do topo e das laterais do Hunga-Tonga à medida que os detritos caíam para varrer o fundo do oceano.

Esse transporte tomou a forma de correntes de densidade piroclástica, que são avalanches de rochas incandescentes. Na água, seu calor escaldante as teria envolvido em uma espécie de almofada de vapor sem atrito na qual poderiam simplesmente se deslocar em alta velocidade.

Nuvem de cinza se espalha por ilhas de Tonga — Foto: BBC
Nuvem de cinza se espalha por ilhas de Tonga — Foto: BBC

O trabalho de pesquisa rastreou fluxos que conseguiram percorrer e ultrapassar elevações de várias centenas de metros.

Isso explica, por exemplo, o rompimento do cabo submarino de fibra óptica que conecta Tonga à internet global. Uma grande parte do cabo foi cortada, apesar de estar a 50 km ao sul de Hunga-Tonga e atrás de uma grande colina no fundo do mar.

"Onde houve esses fluxos, não há nada vivendo lá hoje. É como um deserto a 70 km do vulcão", diz Mackay.

Erupção deixa poucos rastros acima da água em Hunga-Tonga e Hunga Ha'apai — Foto: BBC
Erupção deixa poucos rastros acima da água em Hunga-Tonga e Hunga Ha'apai — Foto: BBC

"E, ainda assim, surpreendentemente, logo abaixo da borda do vulcão, em lugares que escaparam dessas correntes de densidade, você encontra vida. Você encontra esponjas. Escaparam por pouco."

Os fluxos piroclásticos também fazem parte da história do tsunami do Hunga-Tonga.

As ondas foram registradas em todo o Pacífico, mas também em outras bacias oceânicas — no Atlântico e até no Mar Mediterrâneo.

A equipe do Niwa diz que houve essencialmente quatro maneiras pelas quais a água se deslocou para gerar esses tsunamis: pelos fluxos de densidade empurrando a água para fora; pela força explosiva da erupção também empurrando a água; como resultado do dramático colapso do fundo da caldeira (caiu 700m); e por ondas de pressão da explosão atmosférica atuando na superfície do mar.

Em certas fases durante a erupção, esses mecanismos provavelmente atuaram em conjunto.

Um bom exemplo é a maior onda que atingiu a ilha principal de Tonga, Tongatapu, a 65 km ao sul do Hunga-Tonga. Isso aconteceu pouco mais de 45 minutos após a primeira grande explosão eruptiva. Uma parede de água de vários metros de altura invadiu a península de Kanokupolu, destruindo resorts nas praias no processo.

Emily Lane, especialista em desastres naturais do Niwa, acredita que uma anomalia na pressão atmosférica aumentou a altura das ondas do tsunami.

"No caso das grandes ondas locais — a fim de entendê-las corretamente, acredito que você também tenha que ter esse acoplamento atmosférico", explica.

"Tivemos uma enorme anomalia de pressão que por si só teria gerado um tsunami. Então, quando você já tem ondas, está apenas adicionando energia a elas."

O levantamento do Niwa, formalmente chamado de Projeto de Mapeamento do Fundo Marinho da Erupção de Tonga (TESMaP, na sigla em inglês), foi realizado em duas partes.

A primeira etapa, que mapeou e coletou amostras do fundo do mar ao redor do vulcão, foi conduzida pelo navio de pesquisa Tangaroa, da Nova Zelândia.

A segunda etapa, diretamente acima da montanha, foi feita pelo barco-robô britânico USV Maxlimer. Operado pela Sea-Kit International a partir de uma sala de controle a 16.000 km de distância em Tollesbury, no Reino Unido, este veículo não tripulado foi capaz de identificar atividade vulcânica contínua, embora relativamente moderada.

O barco fez isso rastreando uma camada persistente de cinzas na caldeira até sua fonte — uma nova abertura vulcânica a cerca de 200 metros de profundidade.

É impressionante que apenas seis pessoas morreram no evento de 15 de janeiro, e duas delas no Peru. Poderia ter sido muito pior.

Todos os resultados do TESMaP vão contribuir, em última análise, para a mitigação de riscos, preparando nações do Pacífico localizadas perto da zona vulcânica, que vai da Ilha Norte da Nova Zelândia até Samoa.

Elas vão ter uma ideia melhor agora de onde construir infraestrutura e como protegê-la; e, mais importante, avaliar a escala do risco que enfrentam.

"Sempre subestimamos os vulcões submarinos", diz Taaniela Kula, do Serviço Geológico de Tonga.

"Há outros cinco ao redor de Tongatapu. Isso significa que precisamos de mais planejamento e urgente."

O TESMaP foi financiado pela Nippon Foundation, do Japão, e organizado com a ajuda do projeto Seabed2030, um esforço internacional para mapear adequadamente o fundo do oceano da Terra.

Este texto foi publicado em www.bbc.com/portuguese/internacional-63706166

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sexta-feira, 25 de novembro de 2022

Escavação no Coliseu revela 'lanchinho' dos antigos romanos

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Estudo da rede de drenagem e esgoto sob o monumento encontrou vestígios de azeitonas, nozes e outros alimentos.
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Por BBC

Postado em 25 de novembro de 2022 às 08h15m

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O Coliseu é uma das atrações turísticas mais populares da Itália — Foto: REUTERS
O Coliseu é uma das atrações turísticas mais populares da Itália — Foto: REUTERS

O público do Coliseu, a antiga arena de gladiadores de Roma, pode ter saboreado alguns petiscos, como azeitonas, frutas e nozes, descobriram arqueólogos.

Fragmentos de comida — como figos, uvas, cerejas, amoras, nozes e muito mais — foram descobertos durante uma escavação no sítio arqueológico.

Os arqueólogos também encontraram ossos de ursos e grandes felinos que provavelmente eram usados ​​nos espetáculos de caça na arena.

As descobertas foram feitas por arqueólogos que examinaram as redes de esgoto do monumento de 2 mil anos.

Relíquias como estas dão uma ideia da "experiência e dos hábitos de quem aqui vinha nos longos dias dedicados aos espetáculos", explica Alfonsina Russo, diretora do Parque Arqueológico do Coliseu.

Os pesquisadores dizem que ossos de ursos e leões provavelmente são provenientes de animais que foram forçados a lutar entre si e com os gladiadores para entretenimento do público.

Ossos de animais menores pertencentes a cachorros também foram encontrados.
Imagem
Uma seleção de sementes de frutas, pedras e caroços recuperados do sistema de drenagem
do Coliseu em #Roma, restos dos petiscos comidos pelos espectadores
#romanos assistindo aos jogos na arena até 1900 anos atrás
#ArqueologiaRomana

O estudo começou em janeiro de 2021 e envolveu a limpeza de cerca de 70 metros da rede de drenagem e esgoto sob o Coliseu, que continua sendo um dos monumentos mais visitados da Itália.

Arquitetos e arqueólogos especializados usaram robôs para navegar no complexo sistema de drenagem da arena — ajudando na compreensão da vida cotidiana em Roma, assim como das suas antigas estruturas hidráulicas, disseram os pesquisadores.

O Coliseu foi o maior anfiteatro do império romano, caindo em desuso por volta de 523 d.C. Era famoso por ser palco de lutas de gladiadores e outros espetáculos públicos que atraíam dezenas de milhares de espectadores.

Moedas antigas também foram descobertas na escavação, incluindo 50 moedas de bronze que datam do final do período romano, por volta de 250-450 d.C — e uma moeda comemorativa de prata de cerca de 170-171 d.C., celebrando 10 anos do governo do imperador Marco Aurélio.

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